Topology Optimization using Column Generation Methods

Abstract

In dieser Arbeit wird ein neuer dekompositionsbasierter Ansatz zur Lösung von Topologieoptimierungs-problemen vorgestellt und seine Machbarkeit und Nützlichkeit bestimmt. Topologieoptimierungsprobleme bieten die Möglichkeit, die Masse eines Strukturelements im Hinblick auf einen bestimmten Lastfall zu reduzieren, indem eine optimale Form bestimmt wird. Im Allgemeinen sind die entsprechenden Opti-mierungsprobleme nicht konvex und schwer zu lösen. Die meisten herkömmlichen Ansätze zur Lösung solcher Topologieoptimierungsprobleme basieren auf Heuristiken und lösen die Probleme lokal. Das Ziel, ein Topologieoptimierungsproblem global zu lösen, motiviert zur Entwicklung eines neuen Ansatzes, um die Qualität der Ergebnisse zu verbessern. Der Ansatz verwendet Methoden des Spaltengenerierungs-algorithmus, d.h. er löst immer wieder ein konvexes lineares Masterproblem anstelle des komplexen ursprünglichen Topologieoptimierungsproblems. Diese Arbeit zeigt, dass es möglich ist, einen globalen Lösungspunkt mit einer echten unteren Schranke in ¨Ubereinstimmung mit einem ursprünglichen Topologieoptimierungsproblem zu schätzen und das ursprüngliche Problem durch dieses Hauptproblem zu approximieren, indem Lösungen entsprechender Teilprobleme verwendet werden. Darüber hinaus wird die Implementierung des neuen Ansatzes für den Solver ”Decogo” in der Sprache ”Python” beschrieben.

This thesis presents a new decomposition-based approach for solving topology optimization problems and determines its feasibility and usefulness. Topology optimization problems provide the possibility to reduce the mass of a structural element with respect to a given load case by determining an optimal shape. In general, the related optimization problems are non-convex and difficult to solve. Most conventional approaches for solving such topology optimization problems are based on heuristics and solve the problems locally. The aim of solving a topology optimization problem globally motivates to develop a new approach to improve the quality of the results. The approach uses methods of the column generation algorithm, i.e. it solves a convex linear master problem repeatably instead of the complex original topology optimization problem. This thesis shows that it is possible to estimate a global solution point with a true lower bound in accordance to an original topology optimization problem and approximate the original problem by that master problem by using solutions of corresponding sub-problems. Furthermore, the implementation of the new approach for the solver ”Decogo” using ”Python” language is outlined.